I. множества

Множеством принято называть вполне определенную совокупность объектов. Рассмотрение этого понятия во всей общности исключительно важно для математиков, ибо всю математику можно построить на его основе.

Имеется два существенно различных способа задания множеств. Можно либо указать правило для определения того, принадлежит или не принадлежит данному множеству рассматриваемый объект. Либо дать полный перечень элементов принадлежащих данному множеству.

Первый способ мы называем  описанием множества, второй – перечислением множества. Множества обычно обозначают заглавными латинскими буквами, элементы множества – простыми. Напомним, что над множествами можно проводить различные операции (объединение, пересечение, разность, дополнение и т.д.)

Достаточно часто с точки зрения решения задачи множества, например {1, 2, 3} и {А, В, С}, являются одинаковыми,  а также эквивалентными. Для  того, чтобы формировать такую эквивалентность введем понятие отображение. Говорят, что на множестве А задано отображение во множество В, если каждому элементу множества А указан единственный элемент из множествами В ему соответствующий. Отображение обозначают следующим образом

F: А ® В,

и говорят, что множество А отображается во множество В. В таком определении существенную роль играют предлоги «на» и «по». Если их заменить на предлоги «из» и «на», то получим отображение из А на В и т.п. Элемент в множестве В соответствующий элементу а у множества А называют образом элемента образом элемента а и обозначают b = f(a), элемент  а называют прообразом элемента b. Если у каждого элемента b существует единственный прообраз, то можно построить отображение множества В в множество А, поставив в соответствие элементу b его прообраз. Полученное отображение называется обратным и обозначается F-1: А ® В. Из множества всех отображений выберем отображение, обладающее некоторыми нужными нам свойствами.

Отображение F множества А на множество В называется взаимно однозначным, если каждому элементу из множества А соответствует один элемент из множества В и у каждого элемента В существует единственный прообраз из множества В.

Например, если N – множество натуральных чисел, а N2 – множество четных чисел, то отображение f: n ® 2n является взаимно однозначным.

Определение. Два множества называются эквивалентными, если между ними существует взаимно однозначное соответствие.

Эквивалентность конечных множеств подразумевает, что они содержат одинаковое количество элементов. Для бесконечных множеств ситуация сложнее. Говорить, что количество натуральных чисел и количество четных чисел одинаково как-то не очень хочется. Поэтому будем говорить, что они эквивалентны.

Определение эквивалентности позволяет формализовать понятие конечного и бесконечного множества.

Множество называется бесконечным, если существует его подмножество (не совпадающее с самим множеством) эквивалентное этому множеству.

Если такого подмножества не существует, то такое множество называется конечным.

Упражнения.

Установить эквивалентность множеств

[a, b], [c, d], где a, b, c, d – произвольные действительные   числа a < b, c < d.

Доказать, что множества {1, 2, 3, …, n} и {1, 2, 3, …, n, n+1} не эквивалентны.

Доказать, что множество натуральных и действительных чисел не эквивалентны.

Попробуйте разобрать следующую задачу. Предположим, что у Вас есть бездонный мешок, Вы кладете в него 10 шаров, а Ваш товарищ берет из него один. Так продолжается бесконечное число раз. Что остается в мешке?