Тема 4. теорема о делении с остатком. еще один способ нахождения нодОсновную роль во всей арифметике целых чисел играет теорема о делении с остатком. Теорема 4.1. Для любого целого а и целого существуют и единственные целые q и r, такие что . Замечание 4.2. В частности, если , то и делится на . Замечание 4.3. Если то q называется неполным частным, а r – остатком от деления a на b. Из Т.4.1. следует, что при фиксированном целом m>0 любое целое число а можно представить в одном из следующих видов:
При этом если то будем иметь , если и , если . Примеры. Любое целое число можно представить в виде или . Любое целое число можно представить в виде или или . Теорема 4.7. Пусть a и b – два целых числа, 0 и , тогда . Этот способ называется алгоритмом Евклида. Задача нахождения НОД чисел a и b сводится к более простой задаче нахождения НОД b и r, . Если r = 0, то . Если же , то рассуждения повторяем, отправляясь от b и r. В результате получаем цепочку равенств: , , , , , , ……………………(**) ………….. ……….. , , . Мы получим убывающую последовательность натуральных чисел
которая не может быть бесконечной. Поэтому существует остаток, равный нулю: пусть . На основании Т.4.7. из (**) следует, что . Контрольные вопросы 4.1. Сформулировать теорему о делении с остатком. 4.2. Может ли остаток от деления целого числа быть отрицательным? 4.3. Чему равен остаток от деления целого положительного числа а на число b, если ? 4.4. Какие остатки могут получаться при делении целого числа на положительное число m? 4.5. Могут ли все натуральные числа a, b, c, d оказаться нечетными, если с – частное отделения а на b, а d – остаток от этого деления? |
| Оглавление| |